Из множества всех линий и поверхностей выделим так называемые алгебраические линии и поверхности. Сначала дадим определение алгебраического уравнения. Алгебраическим уравнением от переменных x, y называется уравнение вида
где ai — действительные числа, показатели степени ki, li — неотрицательные целые числа. Максимальное значение суммы ki + li называется степенью уравнения. Кривая на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат задаётся алгебраическим уравнением n-й степени, называется алгебраической кривой n-го порядка.
В точности так же определяются алгебраические уравнения от 3 переменных, задающие алгебраические поверхности.
Замечание. При изменении декартовой прямоугольной системы координат (сдвиг начала координат, поворот осей) уравнение алгебраической линии (или поверхности), конечно, изменится, но останется алгебраическим, причём той же самой степени. Оставим пока это замечание без подробных пояснений.
Пример 3.
1) x2 + y2 + z2 = 1 — алгебраическое уравнение 2-й степени; значит сфера — алгебраическая поверхность 2-го порядка;
2) x — y = 0 — алгебраическое уравнение 1-й степени;
3) 3x2y + 2xy + 3x — 5 = 0 — алгебраическое уравнение 3-й степени;
4) x2 + 3xyz + z2 — 1=0 — алгебраическое уравнение 3-й степени;
5) y — sin x = 0 — уравнение не является алгебраическим (синусоида не является алгебраической кривой).
В этой главе будут изучены алгебраические кривые и поверхности 1-го порядка. Кривые и поверхности второго порядка рассмотрим позднее.
Иногда бывает удобно для задания кривой выражать координаты её точек через вспомогательную переменную, так называемый параметр:
Каждому значению t ∈ [a, b] соответствует точка плоскости с координатами ... Можно представлять себе кривую как траекторию движения точки, рассматривая параметр t как время.
Особенно полезен параметрический способ задания для кривых в трёхмерном пространстве. Здесь кривую, вообще говоря, нельзя задать одним уравнением. Если кривая есть пересечение двух поверхностей, то её можно задать системой уравнений
|