|
Обратите внимание: в таблице все рациональные числа встречаются и ни одно не повторено дважды. Теперь, двигаясь по стрелкам, будем нумеровать числа в таблице: первое — 0, второе — 1, третье, четвёртое
— (-1) и т. д. Получается, что каждое рациональное число имеет определённый номер и каждому номеру (т. е. натуральному числу) соответствует вполне определённое рациональное число. Требуемое взаимно однозначное отображение N → Q построено.
Теорема 3. Множество R не является счётным.
Доказательство. Докажем, что даже множество действительных чисел интервала (0,1) не является счётным. Если изображать числа (в том числе и рациональные) бесконечными десятичными дробями (возможно, с периодом 0), а дроби с периодом 9 не использовать, то каждому числу из интервала (0,1) взаимно однозначно соответствует бесконечная десятичная дробь вида 0, bi —2—з ..., причём некоторое bj = 0.
Проводя рассуждение «от противного», предположим, что все такие числа можно занумеровать (т. е. построить взаимно однозначное соответствие с N):
Здесь буквы a с двойными индексами обозначают цифры в десятичной записи чисел. Подчеркнём, что мы расположили в столбик все числа на интервале (0,1), и каждое получило номер. Построим ещё одно число
по следующему правилу: a'n — любая цифра, кроме a11, a22' — любая цифра, только не a22, и т.д. Тогда новое число не содержится в нашем списке: от первого числа оно отличается первой цифрой после запятой, от второго — второй цифрой после запятой и т.д. Получено противоречие с предположением. Теорема доказана.
Выражаясь нестрого, мы доказали, что действительных чисел «значительно больше», чем рациональных. Можно сказать, что «почти вся» числовая прямая — это иррациональные числа. Хотя, конечно, рациональных чисел тоже «много»: между любыми двумя точками на числовой прямой имеется бесконечное множество рациональных чисел.
1.3. Алгебраические операции и алгебраические системы
Расширим понятие декартова произведения — будем рассматривать декартово произведение нескольких множеств. Для нас важен случай,
|
