|
число из M является образом некоторого натурального n ∈ N. Значит, а — сюръективно и, следовательно, биективно:
а : N ↔ M.
Каждому натуральному n N соответствует одно чётное, и наоборот: каждому чётному числу соответствует одно натуральное. Между множествами N, M установлено взаимно однозначное соответствие.
Введём понятие мощности множества. Если множество состоит из конечного числа элементов: A = {ai,..., an}, то его мощностью называется число n (число элементов). Распространим понятие мощности на бесконечные множества. Множества A, B называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Как видно из примера 7, бесконечное множество может иметь одинаковую мощность со своим подмножеством. Множество, равномощное множеству натуральных чисел, называется счётным. Можно сказать, что это «самая маленькая» бесконечная мощность. В следующем пункте мы увидим, что множество действительных чисел не является счётным. Его мощность называется мощностью континуума.
Как мы убедились, при работе с мощностью бесконечных множеств интуиция нас подводит. Здесь нужно придерживаться строгих определений. Однако в начале XX века математики обнаружили ещё более существенные трудности. Их назвали парадоксами теории множеств. Расскажем об одном из них.
Будем говорить, что множество A плохое, если оно является элементом самого себя. (Не подмножеством, а именно элементом!) Таково, например, множество всех множеств. Остальные множества (т. е. те, для которых A ∉ A) назовем хорошими. Пусть P — множество всех хороших множеств. Хорошее оно или плохое? Допустим, P плохое, т. е. P ∈ P. Но P, по определению, состоит только из хороших множеств. Получили противоречие. Допустим, P хорошее. Так как P — множество всех хороших множеств, то P ∈ P, и получаем, что P — плохое. В любом случае получается противоречие.
Пути разрешения парадоксов теории множеств не являются простыми. В частности, нельзя рассматривать в качестве множеств такие необозримые объекты как множество всех множеств.
1.2. Числовые множества
Понятие о числе, сейчас для нас очень привычное, вырабатывалось очень медленно. На протяжении веков люди учились считать предметы. Число было свойством совокупности (множества) предметов и лишь постепенно стало отвлечённым понятием. Так возникли натуральные числа.
|
