|
Доказательство. Пусть a, b, с линейно зависимы, т. е.
Так как любые 2 вектора компланарны, то можно считать, что a, b лежат в одной плоскости. Ясно, что c также лежит в этой плоскости.
Пусть a, b, с компланарны. Рассмотрим векторы a, b. Если они коллинеарны, то они линейно зависимы: a1 a + a2 b = 0. (Здесь по крайней мере одно из чисел a1, a2 не равно 0 . А если a, b — ненулевые, то оба a1, a2 не равны 0.)
Получаем линейную зависимость:
a1 a + a2 b + 0с = 0.
Если же a, b не коллинеарны, то, по теореме 2 из раздела 3.1, они образуют базис на плоскости, где лежат a, b, c.
Поэтому c можно представить так: с = a1 a + a2 b, т. е. a1 a + a2 b - с = 0, что и требовалось.
Теорема 3. Три любых некомпланарных вектора образуют базис в пространстве R3.
Доказательство проводится в точности так же, как доказательство теоремы 2 из раздела 3.1. Разница лишь в том, что рисунок должен быть не плоским, а пространственным — вместо параллелограмма получается параллелепипед.
Наиболее удобным является ортонормированный базис. Возьмём три попарно перпендикулярных вектора, длина каждого равна 1. Обозначим векторы i, j, k. Приведённый рисунок нужно, конечно, представлять себе не плоским, а пространственным.
Теперь каждый вектор можно записывать как в виде линейной комбинации базисных векторов, так и в виде координатной строки:
a = a1 i + a2 j + a3k = (a1, a2, a3).
Как и в пространстве R2, действия с векторами в R3 можно проводить в координатной форме.
Другими словами, линейное пространство направленных отрезков R3 изоморфно линейному пространству R3, состоящему из строк длины 3.
|
