|
Рассматривая прямоугольный треугольник с углом а и гипотенузой |a|, видим:
Аналогично:
Заметим, что всегда выполнено:
Пример 1. Найти длину и направляющие косинусы вектора AB, если известны его начало A(3, -2, 5) и конец B(1, 0, 6).
Решение. Найдём координаты AB, вычитая из координат B координаты A:
AB = (1 - 3, 0 - (-2), 6 - 5) = (-2, 2, 1).
Найдём длину вектора (модуль): ... Его направляющие косинусы:
Пример 2. Найти длину вектора 2a + 3b, если a = (-1, 4), b = 3i - 2j.
Решение. Так как вектор a задан двумя координатами, то ясно, что задача плоская, a, b ∈ R2. Найдём координаты вектора 2a + 3 b:
Теперь найдём длину: |2a + 3 b| = ...
4.2. Скалярное произведение
До сих пор мы только складывали векторы и умножали их на числа. Введём ещё одно действие.
Скалярным произведением векторов a, b называется число, равное произведению длины одного вектора на длину другого и на косинус угла между ними:
Вместо обозначения (a, b) в литературе иногда используется точка, которую можно и не писать: (a, b) = a · b = ab. Однако мы будем пользоваться круглыми скобками.
Рассмотрим свойства скалярного произведения.
1) (a, b) = 0 ⇔ векторы a, b перпендикулярны.
|
