|
Действительно, если а, b — ненулевые, то (а, b) = 0 означает, что cos(а,b) = 0, т.е. а, b перпендикулярны. Если же хотя бы один из векторов нулевой, то он не имеет направления и не будет ошибкой считать его перпендикулярным любому вектору.
2) (а, а) > 0, причём если а ≠ 0, то (а, а) > 0.
Действительно, (а, а) = |а | |а | cos0 = |а|2 > 0, кроме случая а = 0.
3) (а, b) = (b, а).
Коммутативность скалярного произведения очевидна.
4) (λа, b) = λ(а, b), т. е. числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения.
Доказательство. Пользуемся определением скалярного произведения и свойствами проекций:
5) (а + b , с) = (а, с) + (b, с).
Доказательство. Используем свойства проекций:
Замечание. Свойства показывают, что при вычислении скалярного произведения линейных комбинаций можно действовать по обычным правилам раскрытия скобок.
Пример 3. Найти (а + 3 b, 2а — b), если |а|=3, |b|=4, угол между а, b равен 60°.
Решение. Проведём вычисления, используя свойства 3), 4), 5):
Научимся вычислять скалярное произведение векторов, заданных своими координатами в базисе i , j, k. Пусть
|
