|
Проводим вычисления, используя свойства 3), 4), 5):
Так как ясно, что (i, i) = (j, j) = (k, k) = 1, (i, j) = (i, k) = (j, k) = 0, то окончательно получаем:
(a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Пример 4. Найти скалярное произведение векторов
a = (3, -4, 1), b = 2i + 4k.
Решение. Применяем только что полученную формулу:
(a, b) = 3 · 2 + (-4) · 0 + 1 · 4 = 6 + 4 = 10.
Пример 5. Найти косинус угла при вершине A в треугольнике ABC, если его вершины находятся в точках A(1, -2), B(4, -6), C(3, 0).
Решение. Так как каждая из вершин
задана двумя координатами, то треугольник лежит на координатной плоскости XOY. Можно считать, что третья координата z = 0 для всех точек. Рассмотрим векторы AB и AC, вычислим их координаты:
AB = (4-1, -6-(-2)) = (3, -4), AC = (3-1, 0-(-2)) = (2, 2). По определению скалярного произведения:
Поэтому ...
Скалярное произведение можно применять для вычисления работы. Как известно из курса физики, работа P по перемещению материальной точки под действием постоянной силы F равна
...,
где k — вектор перемещения. Поэтому
|
