|
Будем всегда обозначать буквой N множество натуральных чисел:
N = {1, 2, 3,... }.
Новой ступенью стало введение отрицательных чисел. Система чисел расширилась — люди стали использовать целые числа:
Z = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3,... }.
Необходимость измерения различных величин привела к следующему
этапу в развитии понятия числа. Часто бывает, что выбранная единица
не укладывается в измеряемой величине целое число раз. Тогда приходится делить единицу — так возникли простые дроби Вместе с целыми числами дроби образуют множество рациональных чисел:
Следует отметить, что дробные числа люди стали использовать гораздо раньше, чем отрицательные.
В дальнейшем выяснилось, что не всякую, например, длину можно выразить простой дробью. Ещё в V веке до н. э. греческие ученые обнаружили несоизмеримые отрезки. Например, если a — сторона какого-либо
квадрата, b — его диагональ, то отношение — не равно никакому рациональному числу. Действительно, по теореме Пифагора: b = a2 + a2 = 2a2.
Поэтому (a/b)2 = 2. Но рационального числа с таким свойством нет,
докажем это.
Теорема 1. Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
Доказательство. Допустим, что такое число существует. Тогда его
можно записать в виде несократимой дроби: (m/n)2 = 2. Отсюда следует,
что m2 = 2n2 и, значит, m2 — чётное число. Тогда число m — тоже обязательно чётное: пусть m = 2k. Получаем 4k2 = 2n2, или 2k2 = n2. Но это значит, что n — тоже чётное число, а это противоречит тому, что мы взяли несократимую дробь. Противоречие вызвано неверным предположением о существовании рационального числа. Теорема доказана.
Итак, рациональных чисел стало не хватать. Но строгое определение более общего понятия действительного числа было дано только в 70-х годах XIX века немецкими математиками Вейерштрассом, Дедекиндом и Кантором. Мы здесь лишь напомним способ представления рациональных и иррациональных чисел десятичными дробями.
|
