|
Изучим свойства векторного произведения.
1) Длина векторного произведения векторов a, b равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Действительно, по определению, |[a, b]| = |a|-|b|-sin(a, b). Но из элементарной геометрии известно, что по этой же формуле вычисляется площадь параллелограмма.
2) [a, b] = 0 ⇔ a и b коллинеарны.
Действительно, синус угла между коллинеарными векторами равен 0.
3) [b, a] = -[a, b]. Это свойство называется антикоммутативностью.
Проверим, что вектор -[a, b] удовлетворяет всем пунктам определения векторного произведения векторов b и a. Его длина...
Ясно, что -[a, b] перпендикулярен и a, и b. Далее, тройка a, b, [a, b] правая (по определению [a, b]). Значит, тройка b, a, [a, b] — левая. Но тогда тройка b, a, -[a, b] — правая, что и требовалось.
4) [λa, b] = λ [a, b], [a, λb] = λ[a, b].
Докажем первое соотношение; второе из него легко получить, используя антикоммутативность. Пусть λ > 0. Тогда |[λa, b]| = |λa| |b| sin(λа, b) = = |λ[a, b]|. Далее, так как λa ↑↑ a, то [λa, b] ↑↑ [a, b] и λ[a, b] ↑↑ [a, b]. Поэтому у векторов [λa, b] и λ[a, b] совпадают и длины, и направления. Следовательно, [λa, b] = λ[a, b].
Если λ < 0, то оба вектора [λa, b], λ[a, b] имеют равные длины и противоположное направление по сравнению с [a, b]. Поэтому они равны.
5) [a + b, c] = [a, c] + [b, с].
Доказательство этого свойства опускаем. Выведем формулу для вычисления векторного произведения векторов,
заданных своими координатами. ... Тогда, используя свойства, вычисляем:
Заметим теперь, что [i, j ] = k. Действительно, |k| = | i | · |j | · sin90° = 1, вектор k перпендикулярен i и j, тройка i, j, k — правая. Аналогично: [i , k] = -j. Минус здесь поставлен потому, что тройка i, k, k — левая, значит, i, k, -j — правая. Наконец, [j, k] = i (тройка j, k, i — правая).
|
