|
Доказательство сопроводим рисунком.
Тройка а, b, c — левая.
Тройка а, b, c — правая.
Как известно, объём параллелепипеда V вычисляется как произведение площади основания на высоту. Основание — параллелограмм, построенный на векторах а, b, его площадь равна |[а, b]|. Высоту находим из прямоугольного треугольника: ... где φ — угол между высотой и ребром с. Итак, V = |[а, b]| |с| · cos φ. В случае правой тройки φ является одновременно и углом между с и [а, b]. Поэтому V = |[а, b]| |с | cos φ = ([а, b], с). В случае левой тройки угол между с и [а, Б] равен π - φ. Поэтому
V = |[а, b]| |с| cos φ = -|[а, b]| |с| cos(π - φ) = -([а, b], с),
что и требовалось доказать.
2) ([а, b], с) = 0 ⇔ векторы а, b, с компланарны.
Действительно, если а, b, с компланарны, то [а, b] перпендикулярен плоскости, где все они лежат. Значит, ([а, b], с) = 0. Если же а, b, с некомпланарны, то соответствующий параллелепипед имеет ненулевой объём, т. е. ([а, b], с) = 0.
3) Циклические перестановки не меняют смешанного произведения:
([а, b], с) = ([с, а], b) = ([b, с], а).
Действительно, объём параллелепипеда не меняется, ориентация тройки при циклической перестановке сохраняется.
4) ([а, b], с) = (а, [b, с]).
Доказательство. Используем коммутативность скалярного произведения и только что доказанное свойство 3):
(а, [b ,с]) = ([b, с], а) = ([а, b], с),
что и требовалось. Это свойство позволяет не писать квадратные скобки
|
