|
4.5. Геометрическая терминология для пространства Rn
В разделе 3.4 предыдущей главы мы рассматривали пространство Rn, элементы которого — упорядоченные наборы из n чисел:
Rn = {(X1, X2,..., Xn) | Xi ∈ R} .
Было показано, что любое n-мерное линейное пространство в определённом смысле похоже на Rn (точнее — изоморфно Rn). Ясно, что Rn является обобщением нашего трёхмерного пространства R3. С другой стороны, для R3 построено изоморфное ему линейное пространство R3, которое служит для R3 хорошей геометрической интерпретацией. Но при n > 3 элементы Rn нельзя изобразить направленными отрезками, нет хорошего геометрического представления. Здесь мы попытаемся перенести некоторые понятия, изученные нами в R3, на более общий случай пространства
Rn.
Важнейшим понятием является скалярное произведение. Конечно, нельзя определить его так же, как в R3: не введено понятие длины n-мерного вектора, неясно, что такое угол между n-мерными векторами. Однако обобщение возможно.
Скалярным произведением элементов
X = (X1, X2, . . ., Xn), y = (yi, y2, . .., yn) линейного пространства Rn называется число
(X, y) = X1y1 + X2y2 + ... + Xnyn.
Ясно, что это определение обобщает понятие скалярного произведения в R3. Легко проверить и справедливость тех же свойств:
1) (X, X) > 0, причём если X = 0, то (X, X) > 0;
2) (X, y) = (y , X);
3) (λX, y) = λ(X, y);
4) (X + y , с) = (X, с) + (y, с ).
Теперь можно ввести понятие перпендикулярности: векторы X, y ∈ Rn называются перпендикулярными, если (X, y) = 0.
Модулем (или длиной) вектора X = (x1, X2,..., Xn) называется
число
Аналогом нашего основного базиса i, j, k в пространстве Rn является базис
|
