|
Ясно, что модуль каждого из этих векторов равен 1 и они попарно перпендикулярны, поэтому — ортонормированный базис.
Введём, наконец, понятие угла между n-мерными векторами. В R3 для
(x, y)
вычисления угла использовалась формула: ... Однако чтобы
использовать эту формулу для определения угла в Rn, нужно убедиться, что выражение в правой части не может быть по абсолютной величине больше 1.
Теорема 4 (неравенство Коши-Буняковского).
Для любых векторов x, y ∈ Rn |(x, y)| < |x| · |y|.
Доказательство. Пусть λ — некоторое действительное число. Проведём вычисления:
Здесь мы использовали свойства скалярного произведения. Рассмотрим полученное выражение как функцию (квадратный трёхчлен) от λ. Другими словами, считаем, что x, y — данные нам векторы (и значит, (x, x), (x, y), (y , у) — данные, фиксированные числа), а λ может принимать любые значения. По свойству скалярного произведения (x + λу, x + λу) > 0 для любого λ. Значит, для любого λ
график этой функции (парабола) лежит выше оси абсцисс (возможно, касаясь её). Поэтому дискриминант квадратного трёхчлена не может быть положительным.
Отсюда:
...,
что и требовалось.
Итак, доказано, что всегда
... Поэтому существует угол φ
такой, что cos φ = ... Этот угол и называется углом между векторами x, y.
Пример 12. Найти угол между векторами x = (1, 0,1, 0), y = (1,1,1,1) в пространстве R4.
Решение.
...
Значит,
|
