|
Решение. Векторы a, b коллинеарны в том и только том случае, когда существует число λ: a = λb. В координатной записи: (ax,ay, az) = ... Другими словами, координаты должны быть пропорциональны: ... В нашем упражнении: ... Отсюда находим: p = -3, q = -6.
6. Найти скалярное произведение векторов 5 a - 2 b и a + 3 b, если известно:
Решение. Пользуемся свойствами скалярного произведения:
(5a - 2 b, a + 3b) = (5a, a) + (5a, 3 b) + (-2b, a) + (-2 b, 3 b) =
= 5(a, a) + 15(a, b) - 2( b, a) - 6(b, b) = 5(a, a) + 13(a, b) - 6(b, b).
Вычислим отдельно:
Подставляя в полученное выше выражение, находим:
7. Найти косинус угла φ между векторами p = a + 2b, q = a - 3b, если известно, что |a| = 3, | b| = 2, а векторы a, b перпендикулярны.
Решение. Вычислим скалярное произведение (p, q), учитывая, что
(a, b) = 0:
Найдём теперь длины векторов p, q :
Поэтому ... Находим косинус угла:
|
