|
8. Определить, при каком значении а перпендикулярны векторы
p = 3 i - 5 j + k, q = 2 i + a j + 4k.
Решение. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда (p, q) = 0. Так как p, q заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то скалярное произведение вычисляется как сумма произведений соответствующих координат:
Поэтому а = 2.
9. Найти проекцию вектора a = (7, -3, -8) на вектор b = 2i + j - 2k. Решение. Так как ..., то, вычисляя cos φ через скалярное
произведение, получим:
10. Найти высоту AD треугольника ABC, если его вершины находятся в точках A(4, -2), B(6, 12), C(-2, 6).
Решение. Так как каждая точка задана двумя координатами, то треугольник ABC расположен на плоскости XOY. Поэтому и векторы, лежащие в этой плоскости, можно либо задавать двумя координатами, либо считать, что третья координата равна 0.
Сделаем схематический чертёж. Как известно, площадь треугольника можно вычислить по формуле:
Значит, чтобы найти |AD|, нам нужно найти |BC| и S. Основание |BC| найти легко:
BC = (-2 - 6, 6 - 12) = (-8, -6); |BC| = 10.
Площадь S найдём с помощью векторного произведения:
|
