Любую простую дробь — можно, выполняя деление, представить в
десятичной записи. При этом получается либо конечная десятичная дробь:
, либо бесконечная периодическая десятичная дробь:
Дроби с периодом 9 не рассматриваются, так как,
например, 0, 4999... = 0,5. Верно и обратное: любую периодическую десятичную дробь можно представить в виде.
Расширим множество рациональных чисел, добавив иррациональные числа, которые записываются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Полученное множество называется множеством действительных чисел:
R = Q U {бесконечные непериодические дроби}.
Пока нам достаточно тех сведений о действительных числах, которые изучаются в школе. В частности, мы будем изображать действительные числа точками координатной прямой. Это возможно, так как между множеством R и множеством точек прямой можно установить взаимно однозначное соответствие. Прямая линия в этом случае называется числовой прямой.
Между числовыми множествами имеются отношения включения:
N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.
Рассмотрим вопрос о мощности этих множеств.
Теорема 2. Q — счётное множество.
Доказательство. Чтобы доказать, что множества N и Q равномощны, нужно построить между ними взаимно однозначное соответствие. Для этого расположим все рациональные числа в виде таблицы.
|