|
Значит, ... Находим высоту: |AD| = 10.
11. Найти вектор, перпендикулярный данным векторам a = (—2, 1, 1), b = (4, 0, 3), если длина X равна ...
Решение. Вычислим векторное произведение:
Этот вектор, как известно, перпендикулярен векторам a и b . Найдём его длину: |[a, b]| = ... Видим, что [a, b] в 5 раз длиннее требуемого. Поэтому ... Ясно, что есть
ещё один вектор с таким свойством: ... Оба вектора
удовлетворяют всем требованиям задачи.
12. Лежат ли точки M1(1, 0, 4), M2(—3,1, 2), M3(2, 2, 5), M4(1, 3, 4) в
одной плоскости?
Решение. Рассмотрим 3 вектора:
M1M2 = (—4, 1, —2), M1M3 = (1, 2, 1), M1M4 = (0, 3, 0).
Точки Mi лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы M1M2, M1M3, M1M4 компланарны. Для проверки компланарности используем смешанное произведение:
Так как (M1M2, M1M3, M1M4) = 0, то векторы не компланарны. Точки M1, M2, M3, M4 не лежат в одной плоскости.
13. Найти объём пирамиды, вершины которой находятся в точках A(2, —1, 0), B(4, 1, 1), C(2, 2, 3), D(1, 3, 1).
Решение. Сделаем чертёж, построив параллелепипед на векторах AB, AC, AD. Как известно из школьного курса геометрии, объём параллелепипеда вычисляется по формуле: Vi = Si · H, где Si — площадь основания, H — высота. Объём пирамиды ABCD можно вычислить по формуле: V2 = 3S2 · H, где площадь основания пирамиды, H — высота. Так как высота у пирамиды и параллелепипеда общая, а площади оснований различаются в
|
