Кроме декартовой прямоугольной используются и другие системы координат. Одной из них посвящён раздел 5.6 этой главы.
Развитие координатного метода приводит к важнейшему понятию уравнения (линии или поверхности). Пусть на плоскости выбрана система координат. Равенство F(x, у) = 0, содержащее переменные x, у, называется уравнением линии L на плоскости, если координаты любой точки линии удовлетворяют этому равенству, и, наоборот, любая точка, координаты которой удовлетворяют равенству, лежит на линии L. Другими словами,
F(x, у) = 0 ⇔ M(x, у) ∈ L.
Аналогично вводится понятие уравнения поверхности в пространстве. Пусть в пространстве задана система координат OXYZ. Слова: «равенство F(x, у, z) =0 является уравнением поверхности ... означают, что для любых чисел x, у, z равенство F(x, у, z) = 0 справедливо тогда и только тогда, когда точка M(x, у, z) лежит на поверхности P.
Пример 1. Рассмотрим прямую линию на плоскости, делящую угол между осями OX и OY пополам. Её уравнение в системе координат XOY имеет вид: x — у = 0 (или x = у). Действительно, на этой прямой лежат те и только те точки, координаты которых равны. Заметим, что в какой-либо другой системе координат (например, X'O'Y' на рисунке) та же самая линия будет иметь другое уравнение.
Пример 2. Уравнение сферы, центр которой совпадает с началом координат и радиус равен 1, имеет вид: x2 + у2 + z2 = 1.
Действительно, точка M(x, у, z) лежит на сфере тогда и только тогда, когда длина вектора OM равна 1. Как мы знаем, координаты точки M и координаты вектора OM совпадают. Поэтому |OM| = 1. Итак, M(x, у, z) лежит на сфере тогда и только тогда, когда ... Обычно полученное уравнение заменяют равносильным ему, возводя в квадрат:
|