|
где уравнения задают поверхности, пересекающиеся по данной кривой. Однако параметрический способ во многих случаях удобнее.
Пример 4. Параметрические уравнения
...
задают окружность радиуса R с центром в точке O(0, 0). Можно исключить параметр, возведя оба уравнения в квадрат и затем сложив их. Получим x2 + у2 = 1 — алгебраическое уравнение, определяющее окружность.
Примером пространственной кривой, заданной параметрически, может служить винтовая линия: x = a cos t, у = a sin t, z = bt. Если параметр t рассматривать как время, то точка, координаты которой меняются по указанному закону, будет двигаться по цилиндру радиуса a, «наматывая» на его поверхность винтовую линию.
В завершение раздела сформулируем 2 основные задачи аналитической геометрии.
Первая задача: по заданным геометрическим свойствам кривой (или поверхности) составить её уравнение в выбранной системе координат.
Вторая задача: по заданному уравнению изучить геометрические свойства объекта.
5.2. Простейшие задачи аналитической геометрии
Прежде чем приступить к изучению алгебраических кривых и поверхностей 1-го порядка, рассмотрим некоторые простые, часто встречающиеся задачи.
А) Вычисление расстояния между точками. Пусть в пространстве задана система координат и имеются 2 точки: М1(x1, у1, z1), М2(x2, у2, z2). Требуется найти расстояние между ними. Ясно, что это расстояние равно длине вектора M1M2. Координаты вектора M1M2 мы умеем вычислять:
M1M2 = (x2 — x1 ,у2 — у1, z2 — z1).
Поэтому его длина
...
Аналогично, расстояние между двумя точками М1(x1,у1) и М2(ж2,у2) на плоскости равно ... Расстояние между точками M1, M2 можно обозначать и без черты сверху: |M1M2|.
Пример 5. Найти длины сторон треугольника ABC, если его вершины находятся в точках
|
