|
Доказательство. Пусть P — плоскость, Мо(xо,уо,zо) — точка плоскости, N = (A, B, C) — вектор нормали. Запишем условия того, что некоторая (текущая) точка М(x, у, z) лежит на плоскости:
Последнее соотношение (полученное как результат вычисления скалярного произведения в координатной форме) есть уравнение плоскости. Ясно, что это — уравнение первой степени.
Обратно, рассмотрим произвольное уравнение 1-й степени:
Аx + Ву + Cz + D = 0. Здесь хотя бы одно из чисел A, B, C не равно 0. Возьмём произвольную точку Мо(xо, уо, Zо), координаты которой удовлетворяют данному уравнению:
Аxо + Вуо + Czо + D = 0. Вычтем это равенство из общего уравнения:
А(x — xо) + В(у — уо) + C (z — zo) = 0.
Получили уравнение, равносильное исходному. Но из первой части доказательства видно, что это уравнение задаёт плоскость, проходящую через Мо(xо,уо,zо) перпендикулярно вектору N = (A, B, C).
Итак, уравнение Аx + By + Cz + D = 0 задаёт плоскость. Теорема доказана.
Замечание. Подчеркнём важную роль, которую играет вектор нормали при работе с плоскостью. Если дано уравнение, то вектор нормали известен. Обратно, если известен вектор нормали, то, зная хотя бы одну точку плоскости, можно написать её уравнение.
Пример 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(5, 0, —1) перпендикулярно вектору N = (3, —2, 7).
Решение. Так как вектор нормали известен, то записываем уравнение в виде:
3x — 2у + 7z + D = 0. Подберём D так, чтобы точка Мо(5, 0, —1) лежала на плоскости:
3 · 5 — 2 · 0 + 7(—1) + D = 0. Отсюда D = —8. Итак, получили уравнение:
3x — 2у + 7z — 8 = 0.
Заметим, что можно и сразу записать уравнение в виде:
3(x — 5) — 2(у — 0) + 7(z + 1) = 0
и, после раскрытия скобок, получить то же самое.
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения плоскости. Если D = 0, то точка O(0, 0, 0) удовлетворяет уравнению. Значит, плоскость Аx + By + Cz = 0 проходит через начало координат.
|
