|
Пример 10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
М1(3, —1, 1), М2(0, 2, 1), М3(—3, 4, —2).
Решение. Можно воспользоваться готовой, только что выведенной формулой. Однако можно действовать и непосредственно, по одному из изложенных методов. Найдём координаты векторов: М1М2 = (—3, 3, 0),
Вычисляем вектор нормали: ... Теперь можно записать уравнение плоскости:
—9(x — 3) — 9(у + 1) + 3(z — 1) = 0, или —9x — 9у + 3z + 15 = 0.
Окончательно получаем: 3x + 3у — z — 5 = 0. (Проверьте, что точки М1, М2, М3 лежат на этой плоскости.)
Решим ещё одну задачу о плоскости. Найдём расстояние от точки Мо(xо, уо, zo) до плоскости Аx + By + Cz + D = 0.
M Обозначим через М1(x1,у1,z1) — основание перпендикуляра, опущенного из
Мо на плоскость. Тогда вектор М1Мо, очевидно, коллинеарен вектору нормали N = (A, B, C). Вычислим их скалярное произведение:
...
(так как косинус угла равен ±1, в зависимости от совпадения или несовпадения направлений векторов).
С другой стороны, в координатной форме:
Так как точка М1(x1, у1, z1) лежит на плоскости, то ..., и, раскрывая скобки, получаем:
(N, М1 Мо) = Аxо + Byо + Czо + D.
Сравнивая два полученных выражения для (N, М1, Мо), находим расстояние d от точки до плоскости:
Знак ± мы заменили абсолютной величиной, поскольку расстояние — величина всегда положительная.
|
