|
5.4. Прямые в трёхмерном пространстве
Прямую в пространстве мы будем определять как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Следовательно, прямую можно задать системой двух уравнений 1-й степени
A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Такая система называется общими уравнениями прямой. Более удобными являются так называемые канонические уравнения, которые мы сейчас выведем.
Пусть Mo(xo,yo,zo) — какая-либо точка на прямой, l = (a, b, c) — ненулевой вектор, параллельный прямой. Текущая точка M(x, y, z) лежит на прямой в том и только в том случае, если векторы MoM и l коллинеарны. В координатной записи коллинеарность векторов означает пропорциональность координат:
Такая система уравнений и называется каноническими уравнениями прямой. Вектор l = (a, b, c) называется направляющим вектором прямой.
Пример 11. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точки M1 (3, 5, —2), M2(7, —1, 0).
Решение. В качестве направляющего можно взять, очевидно, вектор M1M2 = (4, —6, 2). Точку можно взять любую, например M1. Получаем уравнения:
Замечание. В качестве направляющего вектора прямой не может выступать нулевой вектор (он не имеет направления), но одна или даже две координаты направляющего вектора могут быть равны 0. В этом случае допускается, например, запись вида:
Эти уравнения задают прямую, проходящую через точку (3, 4, 2) параллельно вектору 2i + 5k. Ординаты всех точек этой прямой одинаковы и равны 4. Поэтому её уравнения можно записать и так:
|
