|
Пример 12. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку (—2, 1, —3) перпендикулярно плоскости XOY.
Решение. Ясно, что в качестве направляющего вектора этой прямой можно взять вектор k = (0, 0, 1). Поэтому канонические уравнения запишутся следующим образом:
или, в другой записи:
x = —2, y = 1.
Другими словами, эта прямая состоит из точек, у которых x = —2, y = 1, а z может быть любым числом.
Ещё один распространённый способ задания прямой — параметрический. Переход от канонических уравнений к параметрическим обычно осуществляется так:
Теперь выразим x, y, z через параметр t:
x = at + xo, y = bt + yo, z = ct + zo.
Такая система уравнений и называется параметрическими уравнениями прямой. Здесь l = (a, b, c) — направляющий вектор, Mo(xo,yo,zo) — какая-либо точка на прямой.
Переход от общих уравнений к каноническим (или параметрическим) покажем на примере.
Пример 13. Найти канонические уравнения прямой
3x — y + 2z — 11 = 0, x + 3y — 2z + 3 = 0.
Решение. Найдём на данной прямой какие-либо 2 точки, или, на языке алгебры, какие-либо 2 частных решения системы уравнений. Решаем систему, как в разделе 2.5, методом Гаусса:
Матрица приведена к трапециевидной форме, неизвестная z является свободной. Полагая z = 0, поднимаясь снизу вверх, найдём сначала y = —2, а затем x = 3.
|
