|
Нашли точку М1(3, —2, 0). Аналогично полагая, например, z = 5, найдём у = 2, x = 1. Получим точку М2(1,2,5). Ясно, что вектор М1М2 = (—2, 4, 5) является направляющим для нашей прямой. Её канонические уравнения можно записать, например, так:
Замечание. Направляющий вектор прямой лежит в каждой из плоскостей, поэтому перпендикулярен векторам нормали N1 и N2. Значит, в качестве направляющего вектора можно взять векторное произведение [N1,N2].
Итак, для прямой важную информацию несет направляющий вектор, так же как для плоскости — вектор нормали. С их помощью решаются задачи о взаимном расположении двух прямых, прямой и плоскости, задачи на построение прямых и плоскостей с заданными свойствами.
Пример 14. Являются ли параллельными прямая
...
и плоскость 4x + 2у — 4z + 1 = 0?
Решение. Прямая и плоскость параллельны, если направляющий вектор прямой l и вектор нормали плоскости N перпендикулярны. В нашем случае l = (3, —4, 1), N = (4, 2, —4). Их скалярное произведение
(l, N) = 3 · 4 + (—4) · 2 + 1 · (—4) = 0, поэтому l и N перпендикулярны, т. е. прямая и плоскость параллельны.
Пример 15. Найти угол между прямой и плоскостью 2x + у — 2z — 3 = 0.
Решение. Угол между прямой и плоскостью — это угол а между прямой и её проекцией на плоскость. Ясно, что ..., где ... — угол между прямой и вектором нормали плоскости. (Здесь мы рассматриваем острые углы).
В нашем примере l = (3,4,0),
N = (2, 1, —2). Находим (как в разделе 4.2) угол в между l и N:
Значит, ...
|
