|
Пример 16. Через точку M(2, 0, —3) провести плоскость, параллельную двум прямым:
Решение. Найдём вектор нормали N искомой плоскости. Он должен быть перпендикулярен направляющим векторам l1 и l2 данных прямых. Поэтому в качестве N можно взять векторное произведение:
Значит, уравнение плоскости имеет вид:
x + 4y + 14z + D = 0.
Точка M должна лежать на плоскости. Поэтому 2 + 4 · 0 + 14(—3) + D = 0. Отсюда D = 40. Итак, уравнение плоскости найдено:
x + 4y + 14z + 40 = 0.
5.5. Прямые на плоскости
В этом разделе мы рассматриваем геометрические задачи на некоторой плоскости. Удобно считать, что рассматриваемая плоскость есть координатная плоскость XOY, задаваемая в пространстве уравнением z = 0. Тогда 3-я координата у точек и у векторов не пишется, так как она всегда равна 0. Поэтому положение точки будем задавать двумя числами: абсциссой и ординатой. Векторы определяются своими координатами в базисе i, j. Уравнение F(x,y) = 0 задаёт на плоскости некоторую линию.
Теорема 2. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида
Ax + By + D = 0.
Обратно, каждое уравнение такого вида (кроме случая A = B = 0) задаёт прямую. Вектор N = (A, B) перпендикулярен прямой (он называется вектором нормали этой прямой).
Доказательство. Считаем, что наша плоскость в пространстве задана уравнением z = 0. Тогда любая прямая на ней есть пересечение плоскости z = 0 и некоторой другой плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Поэтому она задаётся системой уравнений ...,
очевидно, равносильной одному уравнению Ax + By + D = 0.
|
