|
Обратное рассуждение. Точки, координаты которых удовлетворяют уравнению Аx + By + D = 0, а значит и системе уравнений указанного вида, лежат в пересечении двух плоскостей. Поэтому такие точки образуют прямую линию.
Возьмём две точки на прямой, заданной уравнением Аx + By + D = 0 : М1(x1,у1) и М2(x2,у2). Тогда справедливы равенства:
... Вычитая одно из другого, получим
А(x2 — x1) + B(y2 — у1) = 0,
т. е. скалярное произведение (N, М1М2) = 0. Значит, вектор N = (A, B) перпендикулярен прямой. Теорема доказана.
Уравнение Аx + By + D = 0 называется общим уравнением прямой на плоскости.
Замечание. Подчеркнём глубокую аналогию между уравнением плоскости и общим уравнением прямой. В обоих случаях коэффициенты при неизвестных являются координатами вектора нормали. Заметим также, что для прямой в трёхмерном пространстве понятие «вектор нормали» не рассматривается. Имеется бесконечно много векторов, имеющих разные направления и перпендикулярных данной прямой в пространстве.
Пример 17. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(3, —5), перпендикулярно вектору N = (2, 7).
Решение. Так как N можно взять в качестве вектора нормали, то уравнение имеет вид: 2x + 7у + D = 0. Подберём D так, чтобы точка М лежала на прямой:
2 · 3 + 7(-5) + D = 0, отсюда D = 29. Итак, получили уравнение:
2x + 7у + 29 = 0.
Пример 18. Найти расстояние от точки М (1, —3) до прямой 4x + 3у — 15 = 0.
Решение. Мы подробно решили такую же задачу для расстояний от точки до плоскости (см. раздел 5.3). Теперь воспользуемся аналогичной формулой без её вывода:
В нашем примере: ...
Теперь, используя аналогию с пространственным случаем, выведем каноническое уравнение прямой. Пусть Мо(xо,уо) — какая-либо точка на прямой, l = (a, b) — ненулевой вектор, параллельный прямой. Тогда, как и в разделе 5.4,
|
