|
когда сомножители одинаковы:
Итак, An состоит из упорядоченных наборов элементов A.
Пусть A — непустое множество. Отображение
f : An → A
называется n-местной алгебраической операцией на A.
Пример 8. Сложение — двухместная алгебраическая операция на множестве действительных чисел R:
+ : R2 → R.
На одном множестве можно рассматривать несколько алгебраических операций. Алгебраической системой называется множество вместе с введёнными на нём алгебраическими операциями:
Множество A ≠ ∅ называется основным множеством алгебраической системы; n-местная алгебраическая операция на A.
Изучение алгебраических систем, а значит и алгебраических операций, т. е. действий с элементами множества, является предметом алгебры. Для алгебры важны не сами элементы основного множества, а свойства операций. Это некоторый новый объект: мы рассматривали множества, но свойства операций ∩, U, \ не изучали. Мы рассматривали числа, но операции сложения, умножения пока даже не упоминали. В нашу задачу не входит подробное изучение алгебраических систем. Мы лишь познакомимся с важнейшими из них, рассмотрим примеры.
Группой называется алгебраическая система
< G ; о >
с одной 2-местной операцией о, обладающей свойствами:
1) Это свойство называется ассоциативностью операции о.
2) Такой элемент e называется нейтральным элементом операции о.
3) Такой элемент y называется обратным для элемента x.
Указанные 3 свойства называются аксиомами группы.
|
