|
Точка C(—3, 4,1) найдена.
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1, —2, 1), M2(4, 2, 3) и параллельной вектору а = 5 i + 4j + 3k.
Решение. Имеем два вектора, параллельных искомой плоскости: вектор а и вектор M1M2 = (3, 4, 2). Рассмотрим их векторное произведение N = [а, M1M2]. Вектор N перпендикулярен векторам а и M1M2 (см. 4.3), а значит перпендикулярен и плоскости, т. е. может быть взят в качестве вектора нормали. Найдём N:
Зная вектор нормали и какую-нибудь точку на плоскости (возьмём, например, M1), записываем уравнение плоскости:
—4(x — 1) + (—1)(у + 2) + 8(z — 1) = 0.
После упрощений получим уравнение 4x + у — 8z + 6 = 0.
7. При каких значениях параметра а плоскости 4x + ау — 8z + 5 = 0, аx + у — 4z — 3 = 0 параллельны? Перпендикулярны?
Решение. Рассмотрим векторы нормалей: N1 = (4, α, —8), N2 = (α, 1, —4). Плоскости параллельны, если N1 и N2 коллинеарны:
Плоскости перпендикулярны, если N1 и N2 перпендикулярны:
Из уравнения 5α + 32 = 0 находим α = —6,4.
8. Найти расстояние от точки M(2, —5, —3) до плоскости, заданной уравнением 3у — 4z + 1 = 0.
Решение. Вычислим расстояние по формуле, выведенной в разделе 5.3:
|
