|
Зная вектор нормали и какую-либо точку плоскости (например, Mo), запишем уравнение плоскости:
6(x - 1) + (y + 1) - 10(z - 3) = 0.
После упрощений получим: 6x + y - 10z + 25 = 0.
14. Найти угловой коэффициент и какой-либо направляющий вектор прямой, заданной на плоскости общим уравнением: 4x + 2y - 5 = 0.
Решение. Преобразуем уравнение к виду y = kx + b:
2y = -4x + 5, y = -2x + 2,5.
Следовательно, угловой коэффициент k = -2. Так же легко преобразовать уравнение и к каноническому виду:
Значит, вектор l = (-2, 4) является направляющим.
15. Написать уравнение прямой на плоскости, проходящей через начало координат и образующей с осью OX угол 30°.
Решение. Так как дан угол наклона прямой, то проще всего написать
уравнение с угловым коэффициентом: k = tg 30° = ; y = kx + b.
По условию, прямая проходит через точку (0, 0). Поэтому b = 0, уравнение 1
имеет вид:
16. Через точку M(1, -7) провести прямую, перпендикулярную прямой
3x - 5y + 1 = 0.
Решение. Вектор N = (3, -5) является вектором нормали для данной
прямой. Значит, для перпендикуляра он — направляющий. Запишем каноническое уравнение перпендикуляра: ...
Задача решена. Если
требуется, можно преобразовать это уравнение к любому другому виду.
17. Найти угол α между прямыми y = 3x, y = -2x + 5. Решение. Запишем уравнения прямых в общем виде:
3x - y = 0, 2x + y - 5 = 0.
Ясно, что N1 = (3, -1), N2 = (2, 1) — векторы нормалей. Угол между ними совпадает с углом между прямыми, так как это углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому
18. В треугольнике ABC известны уравнения высот AD: 7x -2y -1 = 0
и CE: 2x - 7y - 6 = 0, а также вершина B(3, -4). Найти уравнения всех сторон треугольника.
Решение. Сделаем чертёж (см. следующую страницу). Так как ..., то вектор нормали N1 = (2, -7) можем взять в качестве направляющего вектора прямой AB. Поэтому уравнение AB запишется так:
|
