|
Пример 9. Рассмотрим множество целых чисел Z с операцией сложения, хорошо нам известной:
< Z; + >.
Это группа, так как:
1) сложение обладает свойством ассоциативности:
2) существует нейтральный элемент — число 0:
3) для любого целого числа x существует целое (-x):
x + (—x) = 0.
Правда, для операции сложения такой элемент чаще называется не обратным, а противоположным.
Пример 10. Множество положительных действительных чисел
R+ = { x ∈ R | x > 0 }
c операцией умножения чисел образует группу. Действительно, произведение двух положительных действительных чисел снова является положительным действительным числом. Поэтому умножение — это алгебраическая операция на множестве R+. Аксиомы группы выполнены:
1) умножение ассоциативно: (xy)z = x(yz);
2) существует нейтральный элемент — число 1: x • 1 = x ;
3) для любого x € R+ существует обратное число x-i: -i 1 x • x = 1.
Очень часто приходится рассматривать алгебраические системы с двумя двухместными операциями. По аналогии с арифметическими действиями их обычно называют «сложение» и «умножение». Будем писать эти слова в кавычках, чтобы подчеркнуть: операции могут быть заданы различными способами, важно лишь выполнение определённых свойств.
Кольцом называется алгебраическая система с двумя двухместными операциями
< K; +, • >,
|
