|
Введём алгебраические операции на множестве комплексных чисел. Сложение и умножение чисел определяются так:
(а + bi) + (c + di) = (а + c) + (b + d)i, (а + bi)(c + di) = (ас — bd) + (ad + bc)i.
Пояснение — почему именно так нужно определить умножение — сделаем после того, как рассмотрим основные свойства введённых операций.
Теорема 1. Множество комплексных чисел C с операциями сложения и умножения образует поле.
Доказательство. Нужно проверить, что выполняются 9 аксиом поля (смотри раздел 1.3). Большинство из них проверяются просто, с использованием соответствующих свойств сложения и умножения действительных чисел.
1) Коммутативность сложения:
(a + bi) + (с + di) = (а + с) + (b + d)i = (с + di) + (а + bi).
2) Ассоциативность сложения:
3) Существование нейтрального элемента для сложения:
(а + bi) + (0 + 0i) = (а + bi).
Число 0 + 0i будем называть нулём и обозначать 0.
4) Существование противоположного элемента:
(а + bi) + (—а — bi) = 0 + 0i = 0.
5) Коммутативность умножения:
6) Ассоциативность умножения: ...
Вычислив обе части равенства, можно убедиться, что результаты совпадают.
7) Дистрибутивность:
|
