|
Эта формула называется формулой Муавра. Для её доказательства достаточно применить теорему 2 к произведению.
Пример 3. Вычислить ...
Решение. Запишем число в тригонометрической форме:
Это число изображается точкой во 2-й четверти, поэтому ...
Значит
Применим формулу Муавра:
Научимся теперь извлекать корни, т. е. решать уравнение ..., где w = ... — данное число, z — неизвестная. Подставим эти выражения в уравнение:
Отсюда следует, что ... Выразим теперь искомые величины |z|,
...
Окончательно формула для извлечения коней имеет вид:
Здесь ... — арифметическое значение корня, т. е. положительное действительное число. Среди значений ... различными являются только n, соответствующие значениям k = 0, 1, 2,..., n — 1.
Пример 4. Решить уравнение z4 = 3i.
Решение. Запишем число 3i в тригонометрической форме:
Тогда
|
