|
Определим действия сложения и умножения многочленов. Чтобы сложить два многочлена, нужно в выражении ...
привести подобные члены, представив его как некоторый новый многочлен. Ясно, что степень f(z) + g(z) равна наибольшей из степеней f(z), g(z). Чтобы вычислить произведение многочленов f(z), g(z), нужно раскрыть скобки по обычным правилам и в полученном выражении привести подобные:
Степень произведения многочленов, как видим, равна сумме степеней сомножителей:
deg(f(z) g(z)) = deg f(z) + deg g(z).
В качестве частного случая рассмотрим многочлены степени 0, или константы:
f(z) = ao,
любое комплексное число можно рассматривать как многочлен нулевой степени. Исключение составляет число 0: это тоже многочлен, но степень его не определена. Действительно, нельзя считать, что степень многочлена 0 равна 0: из соотношения
deg(f(z) · 0) = deg 0 = deg f(z) + deg 0
мы получили бы противоречие. (Чтобы избежать здесь противоречия, иногда полагают deg0 = —∞ («минус бесконечность»). Подумайте над этим, оставим этот подход без дальнейших комментариев).
Пример 6. Выражения ... являются многочленами 3-й степени. Константы 2, —8, 3i + 4 — многочлены нулевой степени. Выражения x2 — 5x + 3, x2 + 1 — многочлены 2-й степени от x. Обозначение переменной, конечно, не влияет на суть самого понятия.
Замечание. Каждый многочлен f(z) можно рассматривать как отображение множества C в себя:
f (z) : C → C.
Возможно, такой подход более содержателен — иногда удобнее работать с отображениями (функциями), чем с абстрактными выражениями определенного вида. В частности, при работе с константами иногда пишут
|
