|
f(z) = ao, чтобы подчеркнуть, что имеется в виду не уравнение, а многочлен, тождественно равный ao. Другими словами, отображение, сопоставляющее каждому комплексному числу число ao. Нас, однако, как всегда в алгебре, в первую очередь будут интересовать не сами многочлены, а свойства введённых операций.
Теорема 3. Множество C[z] с введёнными операциями + и • образует кольцо.
Доказательство состоит в непосредственной проверке 6 свойств кольца (см. 1.3). Все они выполнены. Более того, в кольце C[z] умножение коммутативно: f(z) • g(z) = g(z) • f(z), и существует единичный элемент: многочлен нулевой степени 1, обладающий свойством f(z) • 1 = f(z). Таким образом, C[z] не является полем только лишь потому, что не для всякого ненулевого многочлена существует обратный. Действительно, если deg f(z) > 0, то не существует многочлена g(z) такого, что f(z) • g(z) = 1.
Замечание. Рассматривая многочлены с действительными или только с рациональными коэффициентами, мы в точности так же получили бы кольца R[z] или Q[z].
6.3. Делимость многочленов. Алгоритм Евклида
Сначала научимся делить многочлен на другой многочлен с остатком. Используем, для наглядности, аналогию с делением в кольце целых чисел: «разделить 13 на 5 с остатком» означает представить число 13 в виде:
13 = 5 • 2 + 3,
где 2 — неполное частное, 3 — остаток, который, конечно, меньше делителя: 3 < 5. Аналогичные действия можно выполнять в кольце многочленов.
Теорема 4 (о делении многочленов с остатком). Для любых многочленов f(z) и g(z) существуют многочлены h(z), r(z), такие, что:
f(z) = g(z) • h(z) + r(z), deg r(z) < deg g(z).
Многочлены h(z) (неполное частное) и r(z) (остаток) определяются единственным образом.
Доказательство. Пусть deg f(z) = n, deg g(z) = k. Если n < k, то h(z) = 0, r(z) = f(z) удовлетворяют всем необходимым требованиям:
f (z) = 0 • g(z) + f(z), deg f(z) < deg g(z).
(Как и с числами: если 5 разделить на 7, то получится 0 и 5 в остатке).
Если же n > k, то поступаем так же, как при делении целых чисел «уголком»:
|
