|
если выполнены следующие требования (аксиомы кольца):
1) «сложение» ассоциативно;
2) нейтральный элемент для «сложения»;
3) для любого элемента существует обратный относительно «сложения».
Заметим, что первые 3 условия означают, что кольцо относительно операции «сложение» образует группу;
4) это свойство называется коммутативностью «сложения»;
5) «умножение» ассоциативно;
6) Это свойство называется дистрибутивностью «умножения» относительно «сложения».
Пример 11. Множество целых чисел Z с обычными операциями сложения и умножения чисел образует кольцо < Z; +, ¦ >.
Действительно, все 6 условий выполнены. Более того, умножение чисел коммутативно: xy = yx, поэтому говорят, что < Z; +, ¦ > — коммутативное кольцо.
Ещё один важный тип алгебраических систем — поля. Полем называется коммутативное кольцо с единицей 1 (нейтральный элемент для «умножения»), в котором любой ненулевой элемент x имеет обратный 1 = 1. Другими словами, поле — это алгебраическая система
< P; +, ¦ >,
в которой выполнены аксиомы кольца 1) - 6), и, кроме того, условия:
7) «умножение» коммутативно;
8) в поле существует единица, нейтральный элемент относительно «умножения»;
9) любой элемент, кроме 0 (нейтральный элемент для «сложения», нуль), имеет обратный.
Пример 12. Множество действительных чисел R c обычными операциями сложения и умножения чисел образует поле. Все аксиомы поля выполнены, мы ими пользуемся, работая с действительными числами.
Пример 13. Кольцо целых чисел < Z; +, ¦ >, рассмотренное в примере 11, не является полем. Ясно, что это кольцо коммутативно и имеет единицу, но последняя аксиома не выполняется. Например, не существует целого числа x такого, что 2 ¦ x = 1, т. е. для числа 2 нет обратного.
Во всех примерах алгебраических систем, которые мы рассмотрели, основное множество состоит из чисел. Такие примеры выбраны только потому, что числа и действия с ними хорошо знакомы читателю. В дальнейшем мы познакомимся и с другими важными алгебраическими системами.
|
