|
делителем f(z)), если существует многочлен h(z) такой, что
f(z) = g(z) • h(z).
Пример 8. Многочлен z2 - 1 делится на многочлен z + 1, так как
z2 - 1 = (z + 1)(z - 1).
Замечание. Константа a = 0 является делителем любого многочлена.
Например, 3z + 5 делится на 7. Действительно, ...
Многочлен d(z) называется наибольшим общим делителем многочленов f(z) и g(z), если выполнены условия:
1) d(z) является делителем f (z) и g(z) (т. е. это общий делитель);
2) если какой-либо h(z) делит f(z) и g(z), то h(z) делит и d(z) (т. е. это наибольший общий делитель).
Употребляется запись
d(z) = HOД(f(z), g(z)).
Замечание. HOД(f(z), g(z)) находится с точностью до постоянного множителя: если d(z) = НОД(f(z), g(z)), c ∈ C, c = 0, то и c • d(z) = НОД(f(z),g(z)). Если же HOД(f(z),g(z)) = a ∈ C, то многочлены f(z) и g(z) называются взаимно простыми.
Укажем алгоритм, позволяющий находить НОД двух многочленов (алгоритм Евклида). Пусть deg f(z) > deg g(z). Пользуясь теоремой о делении с остатком, запишем ряд соотношений:
Здесь мы сначала f(z) разделили на g(z), получив в остатке ri(z); затем g(z) разделили на ri(z), получив в остатке r2(z); затем каждый ... делим на ..., обозначая остаток через ... Так как степени остатков строго убывают, то на некотором шаге остаток будет равен 0. Окончание алгоритма Евклида запишется так:
Теорема 5. Последний не равный 0 остаток (z) в алгоритме Евклида является НОД(f(z),g(z)).
|
