|
Значит, НОД(f(z),g(z)) = -4 z - 4. Так как НОД определяется с точностью до постоянного множителя, то удобно считать, что НОД(f(z), g(z)) = z + 1.
Замечание Доказательство теоремы и рассмотренный пример показывают, что если многочлены f(z), g(z) имеют действительные (или рациональные) коэффициенты, то и НОД(f(z),g(z)) будет иметь действительные (рациональные) коэффициенты.
6.4. Корни многочлена. Разложение на множители
Пусть f(z) — многочлен из C[z]. Число a ∈ C называется корнем многочлена f(z), если f(a) = 0. (Здесь f(a) — значение f(z) при z = a, т. е. число которое получится, если вместо z подставить a и выполнить требуемые действия).
Теорема 6 (теорема Безу). Остаток от деления f(z) на z - a равен
f(a).
Доказательство. Разделим f(z) на z - a с остатком:
f(z) = (z - a)h(z) + r(z), degr(z) < deg(z - a).
Так как deg(z - a) = 1, то deg r(z) = 0, или r(z) = 0, т. е. r(z) = c = const.
Подставляя z = a, найдём эту константу: f (a) = 0 + c = c. Теорема доказана.
Следствие. Если a — корень f(z), то f(z) делится на (z - a). Введём понятие кратности корня. Как мы уже знаем, если a — корень f(z), то
f(z) = (z - a)fi(z).
Если число a не является корнем fi(z), то a называется простым корнем f(z). Если же fi(a) = 0, то найдём натуральное число k такое, что
f(z) = (z - a)kfk(z),
причём fk(a) = 0. В этом случае число k называется кратностью корня a.
Сформулируем так называемую «основную теорему алгебры». Её доказательство для нас сейчас слишком сложно и будет дано позднее, после изучения других разделов математики.
Теорема 7 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени большей 0 имеет в поле комплексных чисел хотя бы 1 корень.
Следствие 1. Любой многочлен степени n имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
|
