|
Доказательство. Пусть ... Если n > 0, то, по теореме 5, существует корень ai.
По следствию из теоремы Безу: f(z) = (z - ai)fi(z). Если n = 1, то fi(z) = const = c0. Если же n > 1, то deg fi(z) = n - 1 > 0, а значит fi(z) имеет корень. Обозначим его a2. По следствию из теоремы Безу, fi(z) = (z - a2)f2(z).
Поэтому
f(z) = (z - ai)(z - a2)f2(z).
Продолжая рассуждение, получим:
Среди корней ai, a2, ..., an могут быть, конечно, одинаковые.
Следствие 2. Любой многочлен над полем C единственным образом разлагается в произведение линейных (т.е. 1-й степени) множителей.
Доказательство. Требуемое разложение только что получено. Старшие коэффициенты линейных множителей всегда можно считать равными 1, умножая всё произведение на co.
Допустим, имеется и другое разложение на линейные множители:
Тогда ясно, что bi — корень f(z). Значит, он встречается среди ai, ..., an. Сокращаем одинаковые скобки и переходим к... Продолжая сокращение, убедимся, что числа bi, ..., bn — это те же корни ai, ..., an, записанные, возможно, в другом порядке.
Пример 10. Найти корни многочлена ...
Решение. Мы должны решать кубическое уравнение f(z) = 0. Вообще-то это трудная задача. Но в нашем примере можно заметить, что f(1) = 0, т. е. z = 1 — корень. Поэтому f(z) делится на z - 1. Разделим:
Получили: f(z) = (z - 1)(z2 + 2z - 3).
Корни многочлена z2 + 2z - 3 , или, что то же самое, корни квадратного
уравнения z2 + 2z - 3 = 0, ищем по известной из школьного курса формуле:
здесь D — дискриминант.
|
