|
Получаем z2 = 1, z3 = -3. Итак, наш многочлен имеет корни z1 = 1, z2 = 1, z3 = -3. Корень -3 является простым, корень 1 — кратный, кратности 2. Справедливо разложение на множители:
Пример 11. Разложить на множители многочлен 4z2 - 16z + 25.
Решение. Найдём корни, решая квадратное уравнение 4z2- 16z + 25 = 0.
Получаем разложение:
Изучим теперь вопрос о разложении на множители многочленов, все коэффициенты которых действительные числа. Конечно, построенная теория для них тоже справедлива. Ситуация, однако, меняется, если пытаться разлагать над полем действительных чисел R, т.е. на множители, которые тоже являются многочленами с действительными коэффициентами. Нам потребуется один вспомогательный результат.
Лемма. Пусть f(z) ∈ R[z], т.е. f(z) — многочлен с действительными коэффициентами. Если c — корень f(z), то с* (комплексно сопряжённое число) тоже является корнем f (z).
Доказательство. Пусть ..., причём все ai — действительные числа. По условию ... Вычисляя сопряжённое число к левой и правой части и пользуясь свойствами сопряжённых чисел, получим: ... Но ai = ai, так как ai ∈ R.
Поэтому ...,
что и требовалось доказать.
Теперь возьмём f(z) ∈ R[z] и попытаемся разложить его на множители над полем R. Пусть ai, a2, ..., ak — все действительные корни f(z). Тогда, по теореме Безу:
причём h(z) уже действительных корней не имеет, но все коэффициенты h(z) — действительные (так как h(z) — результат деления
|
