|
Если h(z) = const, то мы получили разложение f(z) над R на линейные множители. Если h(z) = const, то возьмём ci — комплексный корень h(z). По лемме ci — тоже корень, и по теореме Безу получаем:
h(z) = (z - ci)(z - ci)hi(z).
Так как (z - ci)(z - ci) = z2 - (ci + ci)z + cici = z2 + piz + qi — многочлен с действительными коэффициентами, то и hi(z) тоже имеет действительные коэффициенты. Далее рассуждение можно повторить: либо hi(z) = const, и разложение окончено, либо hi(z) имеет комплексно сопряжённые корни c2, С2, а значит делится на z2 + p2z + q2, и т. д. Итак, доказана
Теорема 8. Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается над полем R в произведение множителей 1-й и 2-й степени:
Пример 12. Рассмотрим многочлен из R[z]:
f(z) = z3 - z2 + z - 1.
Его разложение над R имеет вид: f(z) = (z - 1)(z2 + 1). Его разложение над C имеет вид: f(z) = (z - 1)(z - i)(z + i).
6.5. Задачи с решениями
1. Найти сумму, разность, произведение, частное
комплексных чисел z1 = 2 + 5i, z2 = 4 - 3i.
Решение.
Здесь мы раскрыли скобки и воспользовались соотношением i2 = -1.
Для выполнения деления умножили числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.
2. Найти модули и аргументы чисел ...
Решение. Если
|
