|
1.4. Метод математической индукции
Как известно, математические утверждения (теоремы) должны быть обоснованы, доказаны. Мы сейчас познакомимся с одним из методов доказательства — методом математической индукции.
В широком смысле индукция — это способ рассуждений, позволяющий переходить от частных утверждений к общим. Обратный переход, от общих утверждений к частным, называется дедукцией. Дедукция всегда приводит к правильным выводам. Например, нам известен общий результат: все целые числа, оканчивающиеся на нуль, делятся на 5. Отсюда, конечно, можно сделать вывод, что и любое конкретное число, оканчивающееся на 0, например 180, делится на 5. В то же время индукция может привести к неверным выводам. Например, замечая, что число 60 делится на числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, мы не вправе сделать вывод о том, что 60 делится вообще на любое число.
Метод математической индукции позволяет во многих случаях строго доказывать справедливость общего утверждения P(n), в формулировку которого входит натуральное число n. Применение метода включает 3 этапа.
1) База индукции: проверяем справедливость утверждения P(n) для n = 1 (или для другого, частного значения n, начиная с которого предполагается справедливость P(n) ).
2) Предположение индукции: предполагаем, что P(n) справедливо при n = k.
3) Шаг индукции: используя предположение, доказываем, что P(n) справедливо для n = k + 1.
В результате можно сделать вывод о справедливости P(n) для любого n ∈ N. Действительно, для n = 1 утверждение верно (база индукции). А следовательно, верно и для n = 2, так как переход от n = 1 к n = 2 обоснован (шаг индукции). Применяя шаг индукции снова и снова, получаем справедливость P(n) для n = 3, 4, 5, . . ., т. е. справедливость P(n) для всех n.
Пример 14. Сумма первых n нечётных натуральных чисел равна n2 : 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2.
Доказательство проведём методом математической индукции.
1) База: при n=1 слева только одно слагаемое, получаем: 1 = 1. Утверждение верно.
2) Предположение: предполагаем, что для некоторого k справедливо равенство:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2.
|
