|
ГЛАВА 7
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
7.1. Основные понятия
Квадратичной формой от переменных x1, ..., xn называется выражение вида:
Комплексные числа а называются коэффициентами, матрица A — матрицей квадратичной формы. Всегда можно считать, что матрица A — симметрическая: A = AT. Поясним это на примере.
Пример 1. Квадратичную форму ... удобнее записывать так: ... и считать,
что ... Матрица этой квадратичной формы имеет вид:
Квадратичная форма называется действительной, если aij ∈ R. В примере 1 — действительная квадратичная форма.
Ранг матрицы A называется рангом квадратичной формы. Если r(A) = n, то квадратичная форма называется невырожденной.
Пример 2. Рассмотрим ... Матрица ... Поэтому f(x,у) — невырожденная действительная квадратичная форма.
Пример 3. Пусть ...
Тогда матрица ... имеет вид: ...
Квадратичные формы удобно записывать в матричном виде. Пусть X = (xi,..., xn) — строка неизвестных. После транспонирования строка X превращается в столбец XT. Если в выражении ... выполнить с матрицами указанные действия, то получим квадратичную форму с матрицей A:
|
