|
Пример 4. Квадратичная форма из примера 2 в матричном виде запишется так:
Рассмотрим так называемую линейную замену переменных, т. е.
переход от переменных x1, Х2,..., xn к переменным y1, y2,..., yn по формулам:
В матричной записи это преобразование запишется так: ... Матрица S = (sj) называется матрицей линейной замены переменных. Заметим, что матрица S строится, как говорят, не «по строкам», а «по столбцам». То есть коэффициенты, например, первой формулы: ... записываются в 1-й столбец S. Если S невырожденная матрица, то можно выразить y1,..., yn через x1,..., xn : ..., т. е. ... — матрица обратной замены.
Теорема 1. При линейной замене переменных с матрицей S квадратичная форма с матрицей A переходит в квадратичную форму с матрицей ...
Доказательство. Выполним в форме ... замену переменных X = YS:
что и требовалось. Здесь мы воспользовались свойством операции транспонирования: ... Докажем это свойство в общем виде.
Лемма. Если произведение матриц A, B определено, то
(AB)T = BT AT.
Доказательство. Найдём элемент, стоящий в матрице в левой части равенства на пересечении i-й строки и j-го столбца. В матрице AB он находится на пересечении j-й строки и i-го столбца, т. е. равен произведению j-й строки A на i-й столбец B.
Аналогично, вычислим элемент, стоящий на этом же месте (i, j) в матрице в правой части. Он равен произведению i-й строки
BT
на j-й столбец
AT, или, что то же самое, i-го столбца B на j-ю строку A. Получили одно и то же, значит, матрицы слева и справа совпадают. Лемма доказана.
|
