|
Решение. Проведём преобразования так, как в доказательстве теоремы (случай 1):
Здесь невырожденная замена переменных задана формулами:
Замечание. Доказательство теоремы 2 фактически содержит алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду. В примере 6 мы использовали этот алгоритм. Ясно, если квадратичная форма имеет действительные коэффициенты, то её всегда можно привести к каноническому виду линейной заменой с действительными коэффициентами. Причём можно добиться, чтобы коэффициенты в каноническом виде были +1 или -1.
Если же допустить замены с комплексными коэффициентами, то любую квадратичную форму можно привести к сумме квадратов. Покажем это на примере.
Пример 6 (продолжение). Мы привели квадратичную форму f(x2,x2,x3) к каноническому виду: f(у1, у2, у3). Применим ещё одну линейную невырожденную замену:
Наша форма принимает вид: f(z1, Z2, Z3). Применяя замену переменных с комплексными коэффициентами,
приведём форму к сумме квадратов:
|
