7.3. Закон инерции
Будем называть квадратичные формы f1 и f2 от одного и того же числа переменных эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую с помощью невырожденной линейной замены переменных. Применяется обозначение:
где значок означает, что допускаются замены с комплексными коэффициентами. Для действительных квадратичных форм запись означает, что они эквивалентны над полем R, т.е. существует линейная замена переменных с действительными коэффициентами, переводящая одну из форм в другую. Следующая теорема даёт необходимое и достаточное условие эквивалентности над C.
Теорема 3 («закон инерции»).
f1 и f2 эквивалентны над C тогда и только тогда, когда их ранги равны.
Для доказательства нам потребуется одно свойство матриц. Рассмотрим его отдельно в виде леммы.
Лемма. Ранг произведения матриц меньше либо равен рангу каждого из сомножителей.
Доказательство леммы. Рассмотрим какой-либо, например p-й столбик матрицы AB:
Этот столбик является линейной комбинацией столбцов матрицы A:
Итак, все столбцы матрицы AB — это линейные комбинации столбцов матрицы A.
|