|
Рассмотрим новую матрицу, присоединив к матрице A справа матрицу AB:
Ранг полученной матрицы равен рангу A, потому что добавленные столбцы можно сделать нулевыми с помощью элементарных преобразований. С другой стороны, часть матрицы не может иметь ранг больший, чем ранг всей матрицы (ведь ранг — это максимальный порядок ненулевого минора), поэтому r(AB) < r(A).
Соотношение r(AB) < r(B) доказывается аналогично, нужно только рассмотреть строки AB и дописывать их к строкам B. Лемма доказана.
Следствие. Если S невырожденная квадратная матрица, то
r(AS) = r(SA) = r(A).
Доказательство. По лемме: r(SA) < r(A). Так как ..., то, опять применяя лемму, получим: r(A) = r(S-1(SA)) < r(SA). Значит, r(SA) = r(A).
Перейдём теперь к доказательству закона инерции.
Доказательство теоремы 3.
Пусть f1 ~ f2. Если Ai, A2 — матрицы квадратичных форм
f1, f2, S — матрица линейной замены переменных, переводящей f1 в f2, то, по теореме 1:
Применим следствие из леммы: ... Итак, при невырожденной линейной замене переменных ранг квадратичной формы не меняется.
Пусть r(f1) = r(f2) = r. В разделе 7.2 мы видели, что любую квадратичную форму можно с помощью невырожденной линейной замены над C привести к сумме квадратов. Так как ранг при этом не меняется, то квадратов будет ровно r.
Значит,
...,
т.е. формы f1, f2 приводятся некоторыми невырожденными заменами с матрицами S1, S2 к одинаковому каноническому виду. Но тогда форма f1 приводится к форме f2 c помощью замены переменных с матрицей S2-1S1.
Сформулируем без доказательства закон инерции для действительных квадратичных форм.
Теорема 4. Действительные квадратичные формы f1 и f2 эквивалентны над R тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые ранги и
|
