|
одинаковые положительные индексы инерции (так называется число положительных коэффициентов при квадратах в каноническом виде).
Пример 7. Квадратичные формы f1(x1,x2)=... и f2(x1, x2)=... не эквивалентны даже над полем C, так как r(f1) = 2, r(f2) = 1.
Квадратичные формы f3(x1,x2) = ..., f4(x1,x2) = ... эквивалентны над C, так как r(fЗ) = r(f4) = 2, но не эквивалентны над R: положительные индексы инерции у них разные.
7.4. Положительно определённые квадратичные формы
В этом разделе будем рассматривать только действительные квадратичные формы, т. е. aij ∈ R и переменные x1, Х2,..., xn могут принимать значения только из множества R.
Действительная квадратичная форма f(x1,...,xn) называется положительно определённой, если при любых значениях переменных
f(x1,x2, . . . ,xn) > 0,
кроме случая x1 = x2 = ... = xn = 0 (ясно, что f(0, 0,..., 0) = 0). Если же при любых значениях переменных f(x1,x2,... , xn) < 0, то форма называется отрицательно определённой.
Пример 8. Квадратичная форма f1(x1,x2) = ... является, очевидно, положительно определённой. Квадратичная форма f2(x1,x2) = ... не является положительно определённой, так как при ... = 0 принимает значение 0.
Теорема 5. При невырожденной линейной замене переменных положительная определённость сохраняется.
Доказательство. Запишем квадратичную форму f в матричном виде: f = XAXT. Выполним линейную замену переменных с матрицей S:
Возьмём ненулевой набор значений новых переменных y1,... , yn : Y ≠ 0. Тогда ... Вычислим значение: f(y1,..., yra) = Y(SAST)YT = XAXT = f(x1,..., xn) > 0, что и требовалось.
Теорема 6. Квадратичная форма f(x1,... ,xn) положительно определена ...
Доказательство.
Ясно, что если bi > 0, i = 1, 2,..., n, то форма ... положительно определена. По теореме 5, тогда и f(x1,..., xn) положительно определена.
|
