|
Пусть f(x1, ... ,xn) положительно определена. Приведём к каноническому виду:
Допустим, что какой-либо из коэффициентов bi < 0. Возьмём значение y1 = 1, а остальные yj = 0 (при j = i). Тогда ... Применяя теорему 5, видим, что тогда и исходная форма f(x1, ... , xn) не является положительно определённой, а это противоречит условию. Теорема доказана.
Научимся теперь узнавать, является ли квадратичная форма положительно определённой, не приводя её к каноническому виду. Пусть форма
... Рассмотрим миноры этой матрицы,
Они называются главными минорами: ..., последний равен определителю матрицы A.
Теорема 7 (критерий Сильвестра). Квадратичная форма f(x1,..., xn) положительно определена ⇔ все главные миноры её матрицы положительны.
Доказательство.
Приведём форму к каноническому виду с помощью невырожденной линейной замены переменных с матрицей S. Теоремы 5 и 6 показывают, что можно считать:
т. е. матрица формы преобразована в единичную:
SAST = E .
Отсюда, используя свойства определителей, получаем |SAST| = ...| = 1.
Поэтому |A| = > 0, т. е. последний из главных миноров положителен.
Подставим вместо переменной xn в форме f(x1, ..., xn) число 0. Получим новую квадратичную форму от n - 1 переменной:
|
