|
Ясно, что она тоже положительно определена. Новая форма имеет матрицу
Только что проведённое рассуждение показывает, что её определитель положителен. Но этот определитель — главный минор порядка n—1 матрицы исходной формы.
Продолжая уменьшать число переменных, постепенно докажем, что все главные миноры матрицы A положительны.
Дано: все главные миноры матрицы A положительны. Будем доказывать, что квадратичная форма положительно определена методом математической индукции по числу переменных n.
База индукции: n=1. Квадратичная форма имеет вид .... Её матрица: (a11). Главный минор всего один, по условию он положителен: a11 > 0. Ясно, что тогда и f(x1) > 0 при любом x1 ≠ 0.
Используя метод индукции, предположим, что теорема справедлива для квадратичных форм с числом переменных меньше n, и рассмотрим форму от n переменных. Запишем её следующим образом:
Здесь в ... собраны слагаемые, не содержащие переменной xn. Ясно, что
и главные миноры квадратичной формы — это главные миноры формы порядков 1, 2,..., n — 1. По условию, они положительны. Значит, по предположению индукции, квадратичная форма положительно определена.
Применим теоремы 5 и 6: форму ... можно привести к сумме квадратов:
... Пусть это делается линейной заменой переменных с матрицей S:
|
