|
Итак, квадратичная форма f(x1,... , xn) приведена к виду
Для этого выполнены две линейные невырожденные замены переменных:
что равносильно линейной замене с матрицей S2S1. Значит, по теореме 1,
Вычисляя определители, получаем:
...
положительно определена. Теорема доказана.
Следствие. Квадратичная форма отрицательно определена ⇔ знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса.
Доказательство. Кроме формы f(x1,...,xn) с матрицей A = (aij) рассмотрим квадратичную форму с матрицей —A = (-aij).
Тогда: f(x1,..., xn) отрицательно определена ⇔ —f(x1,..., xn) положительно определена ⇔ главные миноры матрицы (—aij) положительны
Ясно, что при умножении одной строки определителя на (—1) определитель меняет знак. Поэтому написанные неравенства равносильны следующим:
что и требовалось доказать.
Пример 9. Является ли положительно определённой квадратичная форма
|
