|
Решение. Рассмотрим матрицу данной квадратичной формы:
Поэтому, по критерию Сильвестра, форма положительно определена.
7.5. Евклидовы пространства и их преобразования
Линейные пространства и их линейные преобразования мы изучали в 3-й главе. Советуем читателю повторить эту тему, а также раздел 4.7, где в линейном пространстве Rn вводится скалярное произведение. Наша цель — построить теорию для исследования кривых и поверхностей 2-го порядка.
7.5.1. Понятие евклидова пространства
Пусть L — линейное пространство над полем действительных чисел R. Скалярным произведением на L называется отображение,
сопоставляющее каждой паре элементов L действительное число, причём так, что выполнены следующие требования (аксиомы скалярного произведения):
Конечномерное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством.
В произвольном евклидовом пространстве L можно ввести понятие модуля вектора:
Элементы x,у ∈ L называются ортогональными, если (x, у) = 0. Базис e1, e2,..., en в пространстве называется ортонормированным, если ...
Рассмотренное в разделе 4.7 евклидово пространство Rn является очень хорошим примером. Напомним: если x = (a1,..., an), y = (b1 ... , bn) — элементы Rn, то их скалярное произведение определяется равенством:
|
